Forskellen mellem rationelle og irrationelle tal

Udtrykket "tal" bringer vores tanker op til, hvad der generelt klassificeres som positive heltalværdier større end nul. Andre klasser af numre inkluderer hele tal og fraktioner, kompleks og reelle tal og også negative heltalværdier.

Vi udvider klassificeringerne af numre yderligere, vi støder på rationel og irrationel numre. Et rationelt tal er et tal, der kan skrives som en brøkdel. Med andre ord kan det rationelle antal skrives som et forhold mellem to tal.

Overvej for eksempel antallet 6. Det kan skrives som forholdet mellem to tal, dvs.. 6 og 1, der fører til forholdet 6/1. Ligeledes, 2/3, som er skrevet som en brøkdel, er et rationelt tal.

Vi kan således definere et rationelt tal som et tal skrevet i form af en brøk, hvor både tælleren (nummeret øverst) og nævneren (tallet i bunden) er hele tal. Per definition er derfor hvert heltal også et rationelt tal.

Et forhold på to store tal såsom (129.367.871)/(547.724.863) ville også udgøre et eksempel på et rationelt tal af den enkle grund, at både tælleren og nævneren er hele tal.

Omvendt betegnes ethvert tal, der ikke kan udtrykkes i form af en brøkdel eller et forhold, irrationelt. Det mest citerede eksempel på et irrationelt tal er √2 (1.414213...). Et andet populært eksempel på et irrationelt tal er den numeriske konstant π (3.141592 ... ).

Et irrationelt tal kan skrives som en decimal, men ikke som en brøkdel. Irrationelle tal bruges ikke ofte i dagligdagen, selvom de findes på talelinjen. Der er et uendeligt antal irrationelle tal imellem 0 og 1 på talelinjen. Et irrationelt tal har uendelige ikke-gentagne cifre til højre for decimalet.

Bemærk, at den ofte citerede værdi af 22/7 for konstanten π er faktisk kun én værdierne for π. Per definition er omkredsen af ​​en cirkel divideret med to gange dens radius værdien af ​​π. Dette fører til flere værdier af π, inklusive, men ikke begrænset til, 333/106, 355/113 og så videre1.

Kun de firkantede rødder af firkantnumrene; dvs. kvadratrødderne af perfekte firkanter er rationelle.

√1= 1 (Rationel)

√2 (Irrationel)

√3 (Irrationel)

√4 = 2 (Rationel)

√5, √6, √7, √8 (Irrationel)

√9 = 3 (Rationel) og så videre.

Vi bemærker endvidere, at kun nth rødder af nkræfter er rationelle. Således 6th rod af 64 er rationel, fordi 64 er en 6th magt, nemlig 6th magt af 2. Men 6th rod af 63 er irrationel. 63 er ikke en perfekt 6th strøm.

Uundgåeligt kommer decimalpræsentationen af ​​irrationelle ind i billedet og giver nogle interessante resultater.

Når vi udtrykker en rationel nummer som en decimal, så vil enten decimal være eksakt (som i 1/5= 0,20) eller så bliver det upræcis (som i, 1/3 ≈ 0,3333). I begge tilfælde vil der være et forudsigeligt mønster med cifre. Bemærk, at når en irrationel tal udtrykkes som en decimal, så er det klart, at det er upræcise, for ellers ville antallet være rationelt.

Der vil desuden ikke være et forudsigeligt mønster med cifre. For eksempel,

√2 ≈1,4142135623730950488016887242097

Nu, med rationelle tal, møder vi lejlighedsvis 1/11 = 0,0909090.

Brugen af ​​begge lige tegn (=) og tre prikker (ellipse) indebærer, at det dog ikke er muligt at udtrykke 1/11 nøjagtigt som en decimal, kan vi stadig tilnærme det med så mange decimaler som tilladt at komme tæt på 1/11.

Således decimalform af 1/11 betragtes som upræcis. På samme måde er decimalformen for  ¼ hvilket er 0,25, er nøjagtigt.

Når de kommer til decimalform for irrationelle tal, vil de altid være upræcise. Fortsætter med eksemplet på √2, når vi skriver √2 = 1.41421356237... (bemærk brugen af ​​ellipsis), det indebærer straks, at der ikke er nogen decimal for √2 vil være nøjagtig. Der vil desuden ikke være et forudsigeligt mønster med cifre. Ved hjælp af koncepter fra numeriske metoder kan vi igen rationelt tilnærme os så mange decimaler som indtil et sådant punkt er tæt på √2.

Enhver note om rationelle og irrationelle tal kan ikke slutte uden det obligatoriske bevis for, hvorfor √2 er irrationelt. Dermed belyst vi også, det klassiske eksempel på en bevis ved fortsatradiction.

Antag, at √2 er rationel. Dette fører til, at vi repræsenterer det som et forhold mellem to heltal, siger p og q.

√2 = p / q

Naturligvis, p og q har ingen fælles faktorer, for hvis der skulle være nogen fælles faktorer, ville vi have annulleret dem fra tælleren og nævneren.

Når vi kvadrer begge sider af ligningen, ender vi med,

2 = p2 / q2

Dette kan nemt skrives som,

p2 = 2q2

Den sidste ligning antyder det p2 er jævn. Dette er kun muligt, hvis p selv er jævn. Dette betyder igen p2 kan deles med 4. Derfor, q2 og følgelig q skal være jævn. Så p og q er begge ens, hvilket er en modsætning til vores oprindelige antagelse om, at de ikke har fælles faktorer. Dermed, √2 kan ikke være rationel. Q.E.D.