Forskel mellem aritmetisk sekvens og geometrisk sekvens

Aritmetisk sekvens vs geometrisk sekvens
 

Undersøgelsen af ​​talemønstre og deres opførsel er en vigtig undersøgelse inden for matematik. Ofte kan disse mønstre ses i naturen og hjælper os med at forklare deres adfærd i et videnskabeligt synspunkt. Aritmetiske sekvenser og geometriske sekvenser er to af de grundlæggende mønstre, der forekommer i antal, og ofte findes i naturlige fænomener.

Sekvensen er et sæt bestilte numre. Antallet af elementer i sekvensen kan enten være endeligt eller uendeligt.

Mere om aritmetisk sekvens (aritmetrisk progression)

En aritmetisk sekvens er defineret som en sekvens af tal med en konstant forskel mellem hver på hinanden følgende term. Det er også kendt som aritmetisk progression.

Aritmetisk Sequnece ⇒ a₁, -en₂, -en_3, -en₄,..., a_n ; hvor en₂ = a₁ + d, a₃ = a₂ + d, og så videre.

Hvis den indledende periode er en₁ og den fælles forskel er d, så er n^th sekvensens betegnelse er givet ved;

-en_n = a₁ + (N-1) d

Ved at tage ovenstående resultat videre, n^th term kan også gives som;

-en_n = a_m + (N-m) d, hvor en_m er et tilfældigt udtryk i sekvensen, således at n> m.

Sættet med lige tal og sættet med ulige tal er de enkleste eksempler på aritmetiske sekvenser, hvor hver sekvens har en fælles forskel (d) på 2.

Antallet af udtryk i en sekvens kan være uendelig eller endeligt. I det uendelige tilfælde (n → ∞) har tendensen til uendelig afhængighed af den fælles forskel (a_n → ± ∞). Hvis den fælles forskel er positiv (d> 0), har sekvensen en tendens til positiv uendelighed, og hvis den fælles forskel er negativ (d < 0), it tends to the negative infinity. If the terms are finite, the sequence is also finite.

Summen af ​​udtrykkene i den aritmetiske sekvens er kendt som den aritmetiske række: S_n= a₁ + -en₂ + -en₃ + -en₄ + ⋯ + a_n = ∑_{i = 1 → n} -en_jeg; og S_n = (n / 2) (a₁ + -en_n) = (n / 2) [2a₁ + (n-1) d] giver værdien af ​​serien (S_n).

Mere om geometrisk sekvens (geometrisk progression)

En geometrisk sekvens er defineret som en sekvens, hvor kvotienten af ​​to på hinanden følgende ord er en konstant. Dette er også kendt som geometrisk progression.

Geometrisk rækkefølge ⇒ a₁, -en₂, -en₃, -en₄,..., a_n; hvor en₂/en₁ = r, a₃/en₂ = r, og så videre, hvor r er et reelt tal.

Det er lettere at repræsentere den geometriske sekvens ved hjælp af det fælles forhold (r) og det indledende udtryk (a). Derfor den geometriske rækkefølge ⇒ a₁, -en₁r, a₁r², -en₁r³,..., a₁r^n-1.

Den generelle form for n^th udtryk givet af a_n = a₁r^n-1. (At miste abonnementet på den indledende term ⇒ a_n = ar^n-1)

Den geometriske sekvens kan også være endelig eller uendelig. Hvis antallet af udtryk er begrænset, siges sekvensen at være endelig. Og hvis udtrykkene er uendelige, kan sekvensen enten være uendelig eller endelig afhængig af forholdet r. Det fælles forhold påvirker mange af egenskaberne i geometriske sekvenser. 

r> o	0 < r < +1	Sekvensen konvergerer - eksponentielt henfald, dvs. an → 0, n → ∞
	r = 1	Konstant sekvens, dvs. an = konstant
	r> 1	Sekvensen afviger - eksponentiel vækst, dvs.n → ∞, n → ∞
r < 0	-1 < r < 0	Sekvensen er svingende, men konvergerer
	r = 1	Sekvensen er vekslende og konstant, dvs.n = ± konstant
	r < -1	Sekvensen skifter og afviger. dvs. an → ± ∞, n → ∞
r = 0	Sekvensen er en streng med nuller

N.B: I alle ovenstående tilfælde a₁ > 0; hvis en₁ < 0, the signs related to a_n vil blive omvendt.

Tidsintervallet mellem en bunds opspring følger en geometrisk sekvens i den ideelle model, og det er en konvergent sekvens.

Summen af ​​udtrykkene i den geometriske sekvens er kendt som en geometrisk serie; S_n = ar + ar² + ar³ + ⋯ + arⁿ = ∑_{i = 1 → n} ar^jeg. Summen af ​​den geometriske serie kan beregnes ved hjælp af følgende formel.

S_n = a (1-rⁿ ) / (1-r); hvor a er den indledende sigt, og r er forholdet.

Hvis forholdet, r ≤ 1, konvergeres serien. For en uendelig serie gives værdien af ​​konvergens af S_n = a / (1-r) 

Hvad er forskellen mellem aritmetisk og geometrisk sekvens / progression?

• I en aritmetisk sekvens har alle to på hinanden følgende termer en fælles forskel (d), mens i geometrisk rækkefølge har alle to på hinanden følgende ord en konstant kvotient (r).

• I en aritmetisk sekvens er variationen af ​​udtrykkene lineær, dvs. en lige linje kan tegnes, der passerer gennem alle punkter. I en geometrisk serie er variationen eksponentiel; enten vokser eller forfalder baseret på det fælles forhold.

• Alle uendelige aritmetiske sekvenser er divergerende, mens uendelige geometriske serier enten kan være divergerende eller konvergente.

• Den geometriske serie kan vise svingning, hvis forholdet r er negativt, mens den aritmetiske serie ikke viser svingning