Forskellen mellem Fourier Series og Fourier Transform

Fourier Series vs Fourier Transform

Fourier-serien nedbryder en periodisk funktion i en sum af sines og cosinus med forskellige frekvenser og amplituder. Fourier-serien er en gren af ​​Fourier-analyse, og den blev introduceret af Joseph Fourier. Fourier Transform er en matematisk operation, der bryder et signal ind på dets bestanddele frekvenser. Det originale signal, der ændrede sig over tid, kaldes signalets tidsdomænerepræsentation. Fourier-transformen kaldes frekvensdomæne repræsentation af et signal, da det afhænger af frekvensen. Både frekvensdomæne repræsentation af et signal og processen, der bruges til at transformere dette signal til frekvensdomænet, kaldes Fourier-transformen.

Hvad er Fourier-serien?

Som nævnt tidligere er Fourier-serien en udvidelse af en periodisk funktion ved hjælp af uendelig sum af sines og cosinus. Fourier-serien blev oprindeligt udviklet, når man løste varme ligninger, men senere blev det konstateret, at den samme teknik kan bruges til at løse et stort sæt matematiske problemer, specielt de problemer, der involverer lineære differentialligninger med konstante koefficienter. Nu har Fourier-serien anvendelser inden for et stort antal felter, herunder elektroteknik, vibrationsanalyse, akustik, optik, signalbehandling, billedbehandling, kvantemekanik og økonometrik. Fourier-serier bruger ortogonalitetsforholdene mellem sinus- og kosinusfunktioner. Beregningen og studiet af Fourier-serien er kendt som den harmoniske analyse og er meget nyttig, når man arbejder med vilkårlige periodiske funktioner, da det giver mulighed for at bryde funktionen til enkle udtryk, der kan bruges til at få en løsning på det originale problem.

Hvad er Fourier-transformation?

Fourier-transformation definerer et forhold mellem et signal i tidsdomænet og dets repræsentation i frekvensområdet. Fourier-transformen nedbryder en funktion til oscillerende funktioner. Da dette er en transformation, kan det originale signal opnås ved at kende transformationen, og der skabes eller mistes derfor ingen information i processen. Undersøgelse af Fourier-serien giver faktisk motivation til Fourier-transformen. På grund af sines og kosinus egenskaber er det muligt at genvinde mængden af ​​hver bølge, der bidrager til summen ved hjælp af et integral. Fourier-transformation har nogle grundlæggende egenskaber såsom linearitet, translation, modulation, skalering, konjugering, dualitet og konvolution. Fourier-transformation anvendes til løsning af differentialligninger, da Fourier-transformen er tæt knyttet til Laplace-transformation. Fourier-transformation anvendes også i nukleær magnetisk resonans (NMR) og i andre former for spektroskopi.

Forskellen mellem Fourier Series og Fourier Transform

Fourier-serien er en udvidelse af periodisk signal som en lineær kombination af sines og kosinus, mens Fourier-transformation er processen eller funktionen, der bruges til at konvertere signaler fra tidsdomæne til frekvensdomæne. Fourier-serien er defineret for periodiske signaler, og Fourier-transformen kan anvendes til aperiodiske (forekommende uden periodicitet) signaler. Som nævnt ovenfor giver undersøgelsen af ​​Fourier-serien faktisk motivation til Fourier-transformen.