Forskel mellem lineære og ikke-lineære differentialligninger

Lineære vs ikke-lineære differentialligninger
 

En ligning, der indeholder mindst en differentiel koefficient eller derivat af en ukendt variabel, er kendt som en differentialligning. En differentialligning kan være enten lineær eller ikke-lineær. Omfanget af denne artikel er at forklare, hvad der er lineær differentialligning, hvad der er ikke-lineær differentialligning, og hvad er forskellen mellem lineære og ikke-lineære differentialligninger.

Siden udviklingen af ​​beregningen i det 18. århundrede af matematikere som Newton og Leibnitz, har differentialligning spillet en vigtig rolle i historien om matematik. Differentielle ligninger er af stor betydning i matematik på grund af deres anvendelsesområde. Differentielle ligninger er kernen i hver model, vi udvikler for at forklare ethvert scenarie eller begivenhed i verden, uanset om det er inden for fysik, ingeniørarbejde, kemi, statistik, økonomisk analyse eller biologi (listen er uendelig). Indtil regnestykket blev en etableret teori, var rigtige matematiske værktøjer ikke tilgængelige til at analysere de interessante problemer i naturen.

Resulterende ligninger fra en specifik anvendelse af beregningen kan være meget kompleks og undertiden ikke opløselig. Der er dog dem, vi kan løse, men som kan se ens og forvirrende ud. Derfor er differentialligninger for lettere identifikation kategoriseret efter deres matematiske opførsel. Lineær og ikke-lineær er en sådan kategorisering. Det er vigtigt at identificere forskellen mellem lineære og ikke-lineære differentialligninger.

Hvad er en lineær differentiel ligning?

Antag at f: X → Y og f (x) = y, a differentiel ligning uden ikke-lineære udtryk for den ukendte funktion y og dets derivater er kendt som en lineær differentiel ligning.

Det indstiller betingelsen, at y ikke kan have højere indeksbetingelser, såsom y², y³,... og multipladerivater af derivater som 

Det kan heller ikke indeholde ikke-lineære udtryk som Synd y, e^{y^ -2}, eller ln y. Det tager formen, 

hvor y og g er funktioner i x. Ligningen er en differentiel ligningsorden n, hvilket er indekset for derivatet med den højeste orden.

I en lineær differentialligning er den differentielle operatør en lineær operator, og opløsningerne danner et vektorrum. Som et resultat af den lineære natur af opløsningen er en lineær kombination af opløsningerne også en løsning på differentialligningen. Det er, hvis y₁ og y₂ er løsninger af differentialligningen C₁ y₁+ C₂ y₂ er også en løsning.

Ligningens linearitet er kun en parameter i klassificeringen, og den kan yderligere kategoriseres i homogene eller ikke-homogene og almindelige eller partielle differentialligninger. Hvis funktionen er g= 0, da er ligningen en lineær homogen differentialligning. Hvis f er en funktion af to eller flere uafhængige variabler (f: X, T → Y) og f (x, t) = y , så er ligningen en lineær delvis differentiel ligning.

Opløsningsmetode for differentialligningen afhænger af typen og koefficienterne for den differentielle ligning. Det letteste tilfælde opstår, når koefficienterne er konstante. Klassisk eksempel til denne sag er Newtons anden bevægelseslov og dens forskellige anvendelser. Newtons anden lov producerer en anden orden lineær differentialligning med konstante koefficienter.

Hvad er en ikke-lineær differentiel ligning?

Ligninger, der indeholder ikke-lineære udtryk, kaldes ikke-lineære differentialligninger.

 

Alle ovenstående er ikke-lineære differentialligninger. Ikke-lineære differentialligninger er vanskelige at løse, derfor kræves der en tæt undersøgelse for at få en korrekt løsning. I tilfælde af partielle differentialligninger har de fleste af ligningerne ingen generel løsning. Derfor skal hver ligning behandles uafhængigt.

Navier-Stokes ligning og Euler ligning i væskedynamik, Einsteins feltligninger af generel relativitet er velkendte ikke-lineære partielle differentialligninger. Undertiden kan anvendelsen af ​​Lagrange-ligningen på et variabelt system resultere i et system med ikke-lineære partielle differentialligninger.

Hvad er forskellen mellem lineære og ikke-lineære differentialligninger?

• En differentialligning, der kun har de lineære udtryk for den ukendte eller afhængige variabel og dens derivater, er kendt som en lineær differentialligning. Det har ingen udtryk med den afhængige indeksvariabel, der er højere end 1, og indeholder ingen multiple af dens derivater. Det kan ikke have ikke-lineære funktioner såsom trigonometriske funktioner, eksponentiel funktion og logaritmiske funktioner med hensyn til den afhængige variabel. Enhver differentiel ligning, der indeholder ovennævnte udtryk, er en ikke-lineær differentialligning.

• Løsninger af lineære differentialligninger skaber vektorrum, og differentieringsoperatoren er også en lineær operator i vektorrum.

• Løsninger af lineære differentialligninger er relativt lettere, og der findes generelle løsninger. I ikke-lineære ligninger findes den generelle løsning i de fleste tilfælde ikke, og løsningen kan være problemspecifik. Dette gør løsningen meget vanskeligere end de lineære ligninger.