Forskellen mellem ortogonal og ortonormal

Ortogonal vs ortonormal

I matematik bruges de to ord orthogonal og orthonormal ofte sammen med et sæt vektorer. Her bruges udtrykket 'vektor' i den forstand, at det er et element i et vektorrum - en algebraisk struktur, der bruges i lineær algebra. Til vores diskussion vil vi overveje et indre-produktrum - et vektorrum V sammen med et indre produkt [] defineret på V.

Som et eksempel er rummet for et indre produkt sæt af alle 3-dimensionelle positionsvektorer sammen med det sædvanlige prikprodukt.

Hvad er ortogonalt?

Et undtagelsesundersæt S af et indre produktrum V siges at være ortogonal, hvis og kun hvis for hver distinkt u, v i S, [u, v] = 0; dvs. det indre produkt af u og v er lig med nul skalaen i det indre produktrum.

For eksempel i sættet af alle 3-dimensionelle positionsvektorer svarer dette til at sige, at for hvert forskellige par af positionsvektorer p og q i S, p og q er vinkelret på hinanden. (Husk, at det indre produkt i dette vektorrum er prikproduktet. Punktproduktet fra to vektorer er ligeledes 0, hvis, og kun hvis de to vektorer er vinkelret på hinanden.)

Overvej sættet S = (0,2,0), (4,0,0), (0,0,5), som er en undergruppe af de 3-dimensionelle positionsvektorer. Vær opmærksom på at (0,2,0). (4,0,0) = 0, (4,0,0).(0,0,5) = 0 & (0,2,0).(0,0,5) = 0. Sættet S er ortogonal. Især siges to vektorer at være ortogonale, hvis deres indre produkt er 0. Derfor er hvert vektorpar i Ser ortogonal.

Hvad er orthonormal?

Et undtagelsesundersæt S af et indre produktrum V siges at være orthonormal hvis og kun hvis S er ortogonal og for hver vektor u i S, [u, u] = 1. Derfor kan det ses, at hvert orthonormalt sæt er ortogonalt, men ikke omvendt.

For eksempel i sættet af alle 3-dimensionelle positionsvektorer svarer dette til at sige, at for hvert forskellige par af positionsvektorer p og q i S, p og q er vinkelret på hinanden og for hver p i S, | P | = 1. Dette skyldes, at betingelsen [p, p] = 1 reduceres til p.p = | s || p |cos0 = | P |²= 1, hvilket svarer til | P | = 1. Givet et ortogonalt sæt kan vi derfor altid danne et tilsvarende orthonormalt sæt ved at dele hver vektor med dens størrelse.

T = (0,1,0), (1,0,0), (0,0,1) er en ortonormal undergruppe af sættet af alle 3-dimensionelle positionsvektorer. Det er let at se, at det blev opnået ved at dele hver af vektorerne i sættet S, efter deres størrelser.

Hvad er forskellen mellem ortogonal og orthonormal?

• Et undtagelsesundersæt S af et indre produktrum V siges at være ortogonal, hvis og kun hvis for hver særskilte u, v i S, [u, v] = 0. Det er dog orthonormalt, hvis og kun hvis en yderligere betingelse - for hver vektor u i S, [u, u] = 1 er tilfreds.
• Ethvert orthonormalt sæt er ortogonalt, men ikke omvendt.
• Ethvert ortogonalt sæt svarer til et unikt orthonormalt sæt, men et ortonormalt sæt kan svare til mange ortogonale sæt.