Forskellen mellem Power Series og Taylor Series

Power Series vs Taylor Series

I matematik er en reel sekvens en ordnet liste over reelle tal. Formelt er det en funktion fra sættet med naturlige tal ind til sættet med reelle tal. Hvis -en_ner n^th udtryk for en sekvens, vi betegner sekvensen med eller ved -en₁, -en₂,..., a_n,…. F.eks. Overveje rækkefølgen 1, ½, ⅓, ... , ¹/_n,... Det kan betegnes som 1 / n.

Det er muligt at definere en serie ved hjælp af sekvenser. En serie er summen af ​​udtrykkene i en sekvens. Derfor er der for hver sekvens en tilknyttet sekvens og vice versa. Hvis en_n er den sekvens, der overvejes, så kan serien dannet af den sekvens repræsenteres som:                                           

 I det ovenstående eksempel er den tilknyttede serie således 1+¹/₂+¹/₃+...  + ¹/_n +... . 

Som navnene antyder, er kraftserien en speciel type serie, og den bruges i vid udstrækning i numerisk analyse og relateret matematisk modellering. Taylor-serien er en speciel kraftserie, der giver en alternativ og let at manipulere måde at repræsentere kendte funktioner på.

Hvad er Power-serien?

En kraftserie er en serie af formen

    

som er konvergent (muligvis) for et interval centreret ved c. Koefficienterne -en_n kan være reelle eller komplekse tal og er uafhængig af x; dvs.. dummy-variablen.

For eksempel ved at indstille -en_n= 1 for hver n, og c = 0, kraftserien 1 + x + x²+... + xⁿ+... opnås. Det er let at observere, at når x ε (-1,1), konverterer denne kraftserie til 1 / (1-x).          

En kraftserie konvergerer hvornår x = c. De andre værdier af x som kraftserien konvergerer for altid vil have form af et åbent interval centreret ved c. Det er, der vil være en værdi 0≤ R ≤ ∞ sådan at for hver x tilfredsstillende | x-c | ≤R, kraftserien er konvergent og for hver x  tilfredsstillende | x-c |>R, kraftserien er divergerende. Denne værdi R kaldes konvergensradius for kraftserien (R kan tage enhver reel værdi eller positiv uendelig).

Kraftserier kan tilføjes, trækkes fra, multipliceres og deles ved hjælp af følgende regler. Overvej de to kraftserier:       

   

                               .

Derefter,                 

dvs.. lignende vilkår tilføjes eller trækkes sammen. Det er også muligt at multiplicere og opdele de to kraftserier ved hjælp af identiteten,

Hvad er Taylor-serien?

Taylor-serien er defineret for en funktion f(x) der er uendeligt differentierbare med et interval. Antage f(x) kan differentieres på et interval centreret ved c. Så kraftserien, der er givet af

                                                                                                                                

kaldes Taylor-seriens udvidelse af funktionen f(x) om c. (Her f^(N)(c) Betegner n^th afledt kl x = c). I numerisk analyse bruges et endeligt antal udtryk i denne uendelige udvidelse til beregning af værdier på punkter, hvor serien er konvergent til den originale funktion.

En funktion f(x) siges at være analytisk i intervallet (a, b), hvis for hver x ε (a, b), Taylor-serien af f(x) konvergerer til funktionen f(x). For eksempel er 1 / (1-x) analytisk tændt (-1,1), da dens Taylor-udvidelse 1 + x + x²+... + xⁿ+… Konvergerer til funktionen på det interval, og e^x  er analytisk overalt, siden Taylor-serien af e^xkonvergerer til e^x for hvert reelt tal x.

Hvad er forskellen mellem Power-serien og Taylor-serien?

1. Taylor-serien er en speciel klasse af kraftserier, der kun er defineret til funktioner, der er uendeligt forskellige i et åbent interval.

2. Taylor-serien tager den specielle form

        

hvorimod en kraftserie kan være en hvilken som helst serie af formen