Forskel mellem bestemte og ubestemte integraler

Calculus er en vigtig gren af ​​matematik, og differentiering spiller en kritisk rolle i calculus. Den omvendte differentieringsproces er kendt som integration, og den inverse er kendt som integralen, eller ganske enkelt sagt, den inverse af differentiering giver en integral. Baseret på de resultater, de producerer, er integralerne opdelt i to klasser, nemlig bestemte og ubestemte integraler.

Definitiv integral

Den endelige integral af f (x) er et NUMMER og repræsenterer området under kurven f (x) fra x = a til x = b.

Et bestemt integral har øvre og nedre grænser for integralerne, og det kaldes klart, fordi vi i slutningen af ​​problemet har et tal - det er et klart svar.

Ubegrænset integral

Det ubestemte integral af f (x) er en FUNKTION og besvarer spørgsmålet, “Hvilken funktion når differentieret giver f (x)?”

Med et ubegrænset integral er der ingen øvre og nedre grænser for integralet her, og hvad vi får er et svar, der stadig har xer i det og vil også have en konstant (normalt betegnet med C) i det.

Ubestemt integral giver normalt en generel løsning på differentialligningen.

Ubestemt integral er mere en generel form for integration, og det kan fortolkes som det anti-derivat af den betragtede funktion.

Antag, at differentiering af funktion F fører til en anden funktion f, og integrationen af ​​f giver integralet. Symbolisk er dette skrevet som

F (x) = ∫ƒ (x) dx

eller

F = ∫ƒ dx

hvor begge dele F og ƒ er funktioner i x, og F er differentierbar. I ovenstående form kaldes det et Reimann-integral, og den resulterende funktion ledsager en vilkårlig konstant.

Et ubestemt integral producerer ofte en familie af funktioner; derfor er integralen ubestemt.

Integraler og integrationsprocesser er kernen i løsningen af ​​differentialligninger. I modsætning til trin i differentiering følger trin i integration ikke altid en klar og standard rutine. Lejlighedsvis ser vi, at løsningen ikke kan udtrykkes eksplicit i form af elementær funktion. I dette tilfælde gives den analytiske opløsning ofte i form af et ubegrænset integral.

Grundlæggende sætning af beregning

Det definitive og det ubestemte integral er forbundet med det grundlæggende teorem for beregningen som følger: For at beregne en bestemt integral, Find ubestemt integral (også kendt som anti-derivatet) af funktionen og evaluer ved slutpunkterne x = a og x = b.

Forskellen mellem bestemte og ubestemte integraler vil være tydelige, når vi evaluerer integralerne for den samme funktion.

Overvej følgende integral:

OKAY. Lad os gøre begge dele og se forskellen.

For integration skal vi tilføje en til indekset, der fører os til følgende udtryk:

På dette tidspunkt C er kun en konstant for os. Yderligere oplysninger er nødvendige i problemet for at bestemme den nøjagtige værdi af C.

Lad os evaluere det samme integral i dens bestemte form, dvs. med de øvre og nedre grænser inkluderet.

Grafisk set beregner vi nu området under kurven f (x) = y³ mellem y = 2 og y = 3.

Det første trin i denne evaluering er det samme som den ubestemte integrerede evaluering. Den eneste forskel er, at vi denne gang ikke tilføjer konstanten C.

Udtrykket i dette tilfælde ser ud som følger:

Dette er tur fører til:

I det væsentlige substituerede vi 3 og derefter 2 i udtrykket og opnåede forskellen mellem dem.

Dette er den definitive værdi i modsætning til brugen af ​​konstant C tidligere.

Lad os udforske den konstante faktor (med hensyn til ubestemt integral) i nogle mere detaljerede.

Hvis forskellen på y³ er 3y², derefter

∫3y²dy = y³

Imidlertid, 3y² kan være forskellen på mange udtryk, hvoraf nogle inkluderer y³-5, y³+7, osv.… Dette indebærer, at tilbageførsel ikke er unik, da konstanten ikke er indberettet under operationen.

Så generelt, 3y² er forskellen på y³+C hvor C er enhver konstant. I øvrigt er C kendt som 'konstant for integration'.

Vi skriver dette som:

∫ 3y².dx = y³ + C

Integrationsteknikker til en ubestemt integral, såsom tabelopslag eller Risch-integration, kan tilføje nye diskontinuiteter under integrationsprocessen. Disse nye diskontinuiteter vises, fordi anti-derivaterne kan kræve introduktion af komplekse logaritmer.

Komplekse logaritmer har et hopp-diskontinuitet, når argumentet krydser den negative reelle akse, og integrationsalgoritmerne kan undertiden ikke finde en repræsentation, hvor disse hopper annullerer.

Hvis det bestemte integral evalueres ved først at beregne et ubegrænset integral og derefter erstatte integrationsgrænserne i resultatet, skal vi være opmærksomme på, at ubestemt integration kan producere diskontinuiteter. Hvis det desuden gør det, skal vi undersøge diskontinuiteterne i integrationsintervallet.