Forskellen mellem aritmetiske og geometriske serier

Aritmetisk vs geometrisk serie
 

Den matematiske definition af en serie er tæt knyttet til sekvenserne. En sekvens er et ordnet sæt numre og kan enten være et endeligt eller et uendeligt sæt. En række sekvenser, hvor forskellen mellem to elementer er en konstant, er kendt som en aritmetisk progression. En sekvens med en konstant kvotient på to på hinanden følgende tal er kendt som en geometrisk progression. Disse fremskridt kan enten være endelige eller uendelige, og hvis det er begrænset, er antallet af udtryk tællelige, ellers utallige.

Generelt kan summen af ​​elementerne i en progression defineres som en serie. Summen af ​​en aritmetisk progression er kendt som en aritmetisk serie. Ligeledes er summen af ​​en geometrisk progression kendt som en geometrisk serie.

Mere om aritmetisk serie

I en aritmetisk række har de successive udtryk en konstant forskel.

S_n = a₁ + -en₂ + -en₃ + -en₄ +⋯ + a_n = ∑ⁿ_{i = 1} -en_jeg ; hvor en₂ = a₁ + d, a₃ = a₂ + d, og så videre.

Denne forskel d er kendt som den fælles forskel og n^th sigt er givet af en_n = a₁+ (N-1) d; hvor en₁ er den første periode.

Seriens opførsel ændres baseret på den fælles forskel d. Hvis den fælles forskel er positiv, har tendensen til at være positiv uendelig, og hvis den fælles forskel er negativ, tenderer den mod den negative uendelighed.

Summen af ​​serien kan fås ved hjælp af følgende enkle formel, der først blev udviklet af den indiske astronom og matematiker Aryabhata.

S_n = n / 2 (a₁+ -en_n ) = n / 2 [2a₁ + (N-1) d]

Summen S_n kan enten være endelig eller uendelig, baseret på antallet af udtryk.

Mere om geometriske serier

En geometrisk serie er en serie med kvoten på de successive tal konstant. Det er en vigtig serie fundet i undersøgelsen af ​​serien på grund af de egenskaber, den besidder.

S_n = ar + ar² + ar³ +⋯ + arⁿ = ∑ⁿ_{i = 1} ar^jeg

Baseret på forholdet r kan seriens opførsel kategoriseres som følger. r = | r | ≥1 serier afviger; serien r≤1 konvergerer. Hvis r<0 the series oscillates, i.e. the series has alternating values.

Summen af ​​den geometriske serie kan beregnes ved hjælp af følgende formel. S_n = a (1-rⁿ) / (1-r); hvor a er den indledende sigt, og r er forholdet. Hvis forholdet r≤1, konvergerer serien. For en uendelig serie gives værdien af ​​konvergens af S_n= a / (1-r).

Geometrisk serie har adskillige anvendelser inden for fysiske videnskaber, ingeniørvidenskab og økonomi

Hvad er forskellen mellem aritmetisk og geometrisk serie?

• En aritmetisk serie er en serie med en konstant forskel mellem to tilstødende udtryk.

• En geometrisk serie er en serie med en konstant kvotient mellem to på hinanden følgende udtryk.

• Alle uendelige aritmetiske serier er altid divergerende, men afhængigt af forholdet kan den geometriske serie enten være konvergent eller divergent.

• Den geometriske serie kan have svingning i værdierne; det vil sige, at antallet ændrer deres tegn alternativt, men den aritmetiske serie kan ikke have svingninger.