Forskel mellem derivat og forskel

Afledt vs forskellen
 

I en differentieringsberegning er derivat og differentiering af en funktion tæt beslægtede, men har meget forskellige betydninger, og bruges til at repræsentere to vigtige matematiske objekter relateret til differentierbare funktioner.

Hvad er derivat?

Derivat af en funktion måler den hastighed, hvormed funktionsværdien ændres, når dens input ændres. I multivariabelfunktioner afhænger ændringen i funktionsværdien af ​​retningen for ændringen af ​​værdierne for de uafhængige variabler. Derfor vælges i sådanne tilfælde en bestemt retning, og funktionen differentieres i den bestemte retning. Det derivat kaldes retningsderivatet. Partielle derivater er en speciel slags retningsderivater.

Afledt af en vektor-værdsat funktion f kan defineres som grænsen uanset hvor det eksisterer endeligt. Som nævnt før giver dette os forøgelsen af ​​funktionen f langs vektorens retning u. I tilfælde af en enkelt værdsat funktion reducerer dette til den velkendte definition af derivatet,  

For eksempel, er overalt differentierbar, og derivatet er lig med grænsen, , hvilket er lig med . Derivater af funktioner såsom   findes overalt. De er henholdsvis lig med funktionerne .                                                                                

Dette er kendt som det første derivat. Normalt den første derivat af funktion f betegnes med f ⁽¹⁾. Nu med denne notation er det muligt at definere derivater af højere orden. er den anden ordens retningsderivat og betegner n^th afledt af f ⁽ⁿ⁾ for hver n, ,  definerer n^th afledte.

Hvad er forskellen?

Differensen af ​​en funktion repræsenterer ændringen i funktionen med hensyn til ændringer i den uafhængige variabel eller variabler. I den sædvanlige notation for en given funktion f af en enkelt variabel x, den samlede forskel på ordre 1 df er givet af, . Dette betyder, at for en uendelig ændring i x(dvs. dx), vil der være en  f ⁽¹⁾(x) dx ændre sig i f.

Ved hjælp af grænser kan man ende med denne definition som følger. Antag ∆x er ændringen i x på et vilkårligt punkt x og ∆f er den tilsvarende ændring i funktionen f. Det kan vises, at ∆f = f ⁽¹⁾(x) Δx+ ε, hvor ϵ er fejlen. Nu grænsen ∆x →0^Δf/_Δx= f ⁽¹⁾(x) (ved hjælp af den tidligere angivne definition af derivat) og dermed ∆x →0^ε/_Δx= 0. Derfor er det muligt at konkludere, at ∆x →0ε = 0. Nu angiver du ∆x →0 ∆f som df og ∆x →0 ∆x som dx definitionen af ​​differencen opnås strengt. 

F.eks. Forskellen i funktionen er .

I tilfælde af funktioner af to eller flere variabler defineres den samlede forskel for en funktion som summen af ​​forskelle i retningerne for hver af de uafhængige variabler. Matematisk kan det anføres som .