Forskellen mellem integration og summation

Integration vs Summation
 

I matematik over gymnasiet findes ofte integration og summation i matematiske operationer. De bruges tilsyneladende som forskellige redskaber og i forskellige situationer, men de deler et meget tæt forhold.

Mere om Summation

Summation er handlingen med at tilføje en række numre, og handlingen betegnes ofte med det græske bogstav med sigma Σ. Det bruges til at forkorte summationen og lig med summen / summen af ​​sekvensen. De bruges ofte til at repræsentere serien, som i det væsentlige er uendelige sekvenser opsummeret. De kan også bruges til at indikere summen af ​​vektorer, matrixer eller polynomer.

Summationen udføres normalt for en række værdier, der kan repræsenteres af en generel betegnelse, såsom en serie, der har et fælles udtryk. Startpunktet og slutpunktet for summeringen er kendt som henholdsvis den nedre og øvre grænse af summeringen.

For eksempel summen af ​​sekvensen a₁, -en₂, -en₃, -en₄, ..., a_n er en₁ + -en₂ + -en₃ +… + A_n som let kan repræsenteres ved hjælp af summationsnotationen som ∑ⁿ_{i = 1} -en_jeg; i kaldes summationsindekset.

Mange variationer bruges til sammenlægningen baseret på applikationen. I nogle tilfælde kan den øvre grænse og den nedre grænse gives som et interval eller et interval, såsom ∑_1≤i≤100 -en_jeg og ∑_{i∈ [1.100]} -en_jeg. Eller det kan gives som et sæt tal som ∑_i∈P -en_jeg , hvor P er et defineret sæt.

I nogle tilfælde kan to eller flere sigma-tegn bruges, men de kan generaliseres som følger; Σ_j Σ_k -en_jk = ∑_{j, k} -en_jk.

Summationen følger også mange algebraiske regler. Da den indlejrede operation er tilføjelsen, kan mange af de almindelige algebra-regler anvendes på selve summerne og på de individuelle udtryk, der er afbildet af summeringen.

Mere om integration

Integrationen defineres som den omvendte differentieringsproces. Men i sit geometriske billede kan det også betragtes som det område, der er lukket af kurven for funktionen og aksen. Derfor giver beregningen af ​​området værdien af ​​et bestemt integral som vist i diagrammet.

Billedkilde: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Riemann_sum_convergence.png

Værdien af ​​det bestemte integral er faktisk summen af ​​de små strimler inde i kurven og aksen. Arealet af hver strimmel er højden × bredden på det punkt på den betragtede akse. Bredde er en værdi, vi kan vælge, siger ∆x. Og højde er ca. værdien af ​​funktionen på det betragtede punkt, siger f(x_jeg). Fra diagrammet er det tydeligt, at jo mindre strimlerne er bedre, strimlerne passer inden i det afgrænsede område, og dermed bedre tilnærmelse af værdien.

Altså det definitive integral jeg, mellem punktene a og b (dvs. i intervallet [a, b] hvor ajeg ≅ f(x₁) Ax + f(x₂) ∆x + ⋯ + f(x_n) ∆x, hvor n er antallet af strimler (n = (b-a) / ∆x). Denne summering af området kan let repræsenteres ved hjælp af summationsnotationen som jeg ≅ ∑ⁿ_{i = 1} f(x_jeg) Ax. Da tilnærmelsen er bedre, når ∆x er mindre, kan vi beregne værdien, når ∆x → 0. Derfor er det rimeligt at sige jeg = lim_{Ax → 0} Σⁿ_{i = 1} f(x_jeg) Ax.

Som en generalisering fra ovenstående koncept kan vi vælge ∆x baseret på det betragtede interval, der er indekseret af i (vælge bredden på området baseret på positionen). Så får vi

jeg= lim_{Ax → 0} Σⁿ_{i = 1} f(x_jeg) ∆x_jeg = _-en∫^b f(X) dx

Dette kaldes funktionen Reimann Integral f(x) i intervallet [a, b]. I dette tilfælde er a og b kendt som integralens øvre grænse og nedre grænse. Reimann integral er en grundlæggende form for alle integrationsmetoder.

I det væsentlige er integration summen af ​​området, når rektanglets bredde er uendelig.

Hvad er forskellen mellem Integration og Summation?

• Summation tilføjer en række numre. Normalt er summationen angivet i denne form ∑ⁿ_{i = 1} -en_jeg når udtrykkene i sekvensen har et mønster og kan udtrykkes ved hjælp af et generelt udtryk.

• Integration er dybest set det område, der er afgrænset af funktionens kurve, aksen og øvre og nedre grænser. Dette område kan gives som summen af ​​meget mindre områder inkluderet i det afgrænsede område.

• Summation involverer de diskrete værdier med den øvre og nedre grænse, mens integrationen involverer kontinuerlige værdier.

• Integration kan fortolkes som en særlig form for sammenlægning.

• I numeriske beregningsmetoder udføres integration altid som en summering.