Forskellen mellem Laplace og Fourier Transforms

Laplace vs Fourier Transforms
 

Både Laplace-transformation og Fourier-transformation er integrerede transformationer, som oftest anvendes som matematiske metoder til at løse matematiske modellerede fysiske systemer. Processen er enkel. En kompleks matematisk model konverteres til en enklere, opløselig model ved hjælp af en integreret transformation. Når den enklere model er løst, anvendes den omvendte integrerede transformation, hvilket ville give løsningen på den originale model.

For eksempel, da de fleste af de fysiske systemer resulterer i differentialligninger, kan de omdannes til algebraiske ligninger eller til lavere grad let opløselige differentialligninger ved hjælp af en integreret transformation. Så bliver det lettere at løse problemet.

Hvad er Laplace-transformen?

Givet en funktion f (t) af en reel variabel t, dens Laplace-transformation er defineret af integralen (når det findes), som er en funktion af en kompleks variabel s. Det betegnes normalt af L f (t). Den inverse Laplace-transformation af en funktion F(s) betragtes som funktionen f (t) på en sådan måde, at L f (t) = F(s), og i den sædvanlige matematiske notation skriver vi, L ^-1F(s) = f (t).Den inverse transformation kan gøres unik, hvis nullfunktioner ikke er tilladt. Man kan identificere disse to som lineære operatører defineret i funktionsområdet, og det er også let at se det, L ^-1L f (t) = f (t), hvis nullfunktioner ikke er tilladt.

Følgende tabel viser Laplace-transformationer af nogle af de mest almindelige funktioner.

Hvad er Fourier-transformen?

Givet en funktion f (t) af en reel variabel t, dens Laplace-transformation er defineret af integralen (når det findes) og betegnes normalt af F f (t). Den inverse transformation F ^-1F(α) gives med integralet . Fourier-transformation er også lineær og kan betragtes som en operatør defineret i funktionsområdet.

Ved hjælp af Fourier-transformen kan den originale funktion skrives som følger, forudsat at funktionen kun har et begrænset antal diskontinuiteter og er absolut integrerbar.

Hvad er forskellen mellem Laplace og Fourier Transforms?

• Fourier transformation af en funktion f (t) er defineret som , hvorimod laplace-transformationen af ​​det defineres at være .
• Fourier-transformation er kun defineret for funktioner defineret for alle de reelle tal, mens Laplace-transformation ikke kræver, at funktionen er defineret ved indstilling af de negative reelle tal.
• Fourier-transformation er et specielt tilfælde af Laplace-transformen. Det kan ses, at begge falder sammen for ikke-negative reelle tal. (dvs. tage s i skødet at være Ia + β hvor α og β er reelle sådan e ^β= ¹/_{√ (2ᴫ)})
• Hver funktion, der har en Fourier-transformation, har en Laplace-transformation, men ikke vice versa.