Forskellen mellem lineær ligning og ikke-lineær ligning

Lineær ligning vs ikke-lineær ligning

I matematik er algebraiske ligninger ligninger, der dannes ved hjælp af polynomer. Når eksplicit er skrevet, vil ligningerne have formen P (x) = 0, hvor x er en vektor af n ukendte variabler, og P er et polynom. For eksempel P (x, y) = 4x⁵ + xy³ + y + 10 = 0 er en algebraisk ligning i to variabler skrevet eksplicit. Også (x + y)³ = 3x²y - 3zy⁴ er en algebraisk ligning, men i implicit form, og den vil have formen Q (x, y, z) = x³ + y³ + 3xy² +3zy⁴ = 0, når det er skrevet eksplicit.

Et vigtigt kendetegn ved en algebraisk ligning er dens grad. Det defineres som den højeste magt af de udtryk, der forekommer i ligningen. Hvis et udtryk består af to eller flere variabler, betragtes summen af ​​eksponenterne for hver variabel som udtrykket. Bemærk, at ifølge denne definition er P (x, y) = 0 i grad 5, mens Q (x, y, z) = 0 er grad 5.

Lineære ligninger og ikke-lineære ligninger er en to-partition defineret i sættet af algebraiske ligninger. Graden af ​​ligningen er den faktor, der adskiller dem fra hinanden.

Hvad er en lineær ligning?

En lineær ligning er en algebraisk ligning af grad 1. For eksempel er 4x + 5 = 0 en lineær ligning for en variabel. x + y + 5z = 0 og 4x = 3w + 5y + 7z er lineære ligninger på henholdsvis 3 og 4 variabler. Generelt vil en lineær ligning af n-variabler have formen m₁x₁ + m₂x₂ +… + M_n-1x_n-1 + m_nx_n = b. Her, x_jeger de ukendte variabler, m_jeg's og b er reelle tal, hvor hver af m_jeg er ikke-nul.

En sådan ligning repræsenterer et hyperplan i det n-dimensionelle euklidiske rum. Især repræsenterer en to variabel lineær ligning en lige linje i kartesisk plan, og en tre variabel lineær ligning repræsenterer et plan på det euklidiske 3-rum.

Hvad er en ikke-lineær ligning?

En kvadratisk ligning er en algebraisk ligning, som ikke er lineær. Med andre ord er en ikke-lineær ligning en algebraisk ligning for grad 2 eller højere. x² + 3x + 2 = 0 er en enkelt variabel ikke-lineær ligning. x² + y³+ 3xy = 4 og 8yzx² + y² + 2z² + x + y + z = 4 er eksempler på ikke-lineære ligninger på henholdsvis 3 og 4 variabler.

En anden grad ikke-lineær ligning kaldes en kvadratisk ligning. Hvis graden er 3, kaldes den en kubisk ligning. Grad 4 og grad 5 ligninger kaldes henholdsvis kvartisk og kvintisk ligning. Det er bevist, at der ikke findes en analytisk metode til at løse nogen ikke-lineær ligning af grad 5, og dette gælder også for enhver højere grad. Opløselige ikke-lineære ligninger repræsenterer hyperoverflader, der ikke er hyperplaner.