Forskellen mellem lineær ligning og kvadratisk ligning

Lineær ligning vs kvadratisk ligning

I matematik er algebraiske ligninger ligninger, der dannes ved hjælp af polynomer. Når eksplicit er skrevet, vil ligningerne have formen P (x) = 0, hvor x er en vektor af n ukendte variabler, og P er et polynom. For eksempel P (x, y) = x⁴ + y³ + x²y + 5 = 0 er en algebraisk ligning af to variabler skrevet eksplicit. Også (x + y)³= 3x²y - 3zy⁴ er en algebraisk ligning, men i implicit form. Det vil have formen Q (x, y, z) = x³ + y³ + 3xy²+3zy⁴= 0, når det er skrevet eksplicit.

Et vigtigt kendetegn ved en algebraisk ligning er dens grad. Det defineres som den højeste magt af de udtryk, der forekommer i ligningen. Hvis et udtryk består af to eller flere variabler, betragtes summen af ​​eksponenterne for hver variabel som udtrykket. Bemærk, at ifølge denne definition er P (x, y) = 0 i grad 4, mens Q (x, y, z) = 0 er i grad 5.

Lineære ligninger og kvadratiske ligninger er to forskellige typer algebraiske ligninger. Graden af ​​ligningen er den faktor, der adskiller dem fra resten af ​​de algebraiske ligninger.

Hvad er en lineær ligning?

En lineær ligning er en algebraisk ligning af grad 1. For eksempel er 4x + 5 = 0 en lineær ligning for en variabel. x + y + 5z = 0 og 4x = 3w + 5y + 7z er lineære ligninger på henholdsvis 3 og 4 variabler. Generelt vil en lineær ligning af n-variabler have formen m₁x₁ +m₂x₂ +… + M_n-1x_n-1 + m_nx_n = b. Her, x_jeger de ukendte variabler, m_jeg's og b er reelle tal, hvor hver af m_jeg er ikke-nul.

En sådan ligning repræsenterer et hyperplan i det n-dimensionelle euklidiske rum. Især repræsenterer en to variabel lineær ligning en lige linje i kartesisk plan, og en tre variabel lineær ligning repræsenterer et plan på det euklidiske 3-rum.

Hvad er en kvadratisk ligning?

En kvadratisk ligning er en algebraisk ligning af anden grad. x² + 3x + 2 = 0 er en enkelt variabel kvadratisk ligning. x² + y² + 3x = 4 og 4x² + y² + 2z² + x + y + z = 4 er eksempler på kvadratiske ligninger på henholdsvis 2 og 3 variabler.

I det enkelte variable tilfælde er den generelle form for en kvadratisk ligning øks² + bx + c = 0. Hvor a, b, c er reelle tal, hvorfra 'a' er ikke-nul. Diskriminerende ∆ = (b² - 4ac) bestemmer arten af ​​rødderne i den kvadratiske ligning. Ligningens rødder vil være reelle forskellige, reelle lignende og komplekse, da as er positiv, nul og negativ. Ligningens rødder kan let findes ved hjælp af formlen x = (- b ± √∆) / 2a.

I de to variable tilfælde vil den generelle form være øks² + ved² + cxy + dx + ex + f = 0, og dette repræsenterer en kegle (parabola, hyperbola eller ellipse) i kartesisk plan. I højere dimensioner repræsenterer denne type ligninger hyperoverflader kendt som quadrics.