Forskellen mellem gensidigt eksklusive og uafhængige begivenheder

Gensidigt eksklusivt vs uafhængige begivenheder

Folk forveksler ofte begrebet gensidigt eksklusive begivenheder med uafhængige begivenheder. Faktisk er dette to forskellige ting.

Lad A og B være enhver to begivenheder, der er forbundet med et tilfældigt eksperiment E. P (A) kaldes "Sandsynligheden for A". Tilsvarende kan vi definere sandsynlighed for B som P (B), sandsynlighed for A eller B som P (A∪B) og sandsynlighed for A og B som P (A∩B). Derefter P (A∪B) = P (A) + P (B) -P (A∩B).

To begivenheder, der siges at være gensidigt udelukkende, hvis forekomsten af ​​den ene begivenhed ikke påvirker den anden. Med andre ord kan de ikke forekomme samtidigt. Derfor, hvis to begivenheder A og B er gensidigt eksklusive, så er A∩B = ∅ og dermed implicerer P (A∪B) = P (A) + P (B).

Lad A og B være to begivenheder i et prøverum S. Betinget sandsynlighed for A, i betragtning af at B er forekommet, betegnes med P (A | B) og er defineret som; P (A | B) = P (A∩B) / P (B), forudsat P (B)> 0. (ellers er det ikke defineret.)

En hændelse A siges at være uafhængig af en hændelse B, hvis sandsynligheden for, at A forekommer, ikke er påvirket af, om B har forekommet eller ikke. Med andre ord har udfaldet af begivenhed B ingen indflydelse på resultatet af begivenheden A. Derfor er P (A | B) = P (A). Tilsvarende er B uafhængig af A, hvis P (B) = P (B | A). Derfor kan vi konkludere, at hvis A og B er uafhængige begivenheder, så er P (A∩B) = P (A) .P (B)

Antag, at en nummereret terning rulles, og en fair mønt er vendt. Lad A være den begivenhed, at opnå et hoved og B være begivenheden, der ruller et jævnt tal. Derefter kan vi konkludere, at begivenheder A og B er uafhængige, fordi det ene resultat ikke påvirker resultatet af det andet. Derfor er P (A∩B) = P (A). P (B) = (1/2) (1/2) = 1/4. Da P (A∩B) ≠ 0, kan A og B ikke være gensidigt eksklusive.

Antag, at en urne indeholder 7 hvide kugler og 8 sorte kugler. Definer begivenhed A som tegning af en hvid marmor og begivenhed B som tegning af en sort marmor. Forudsat at hver marmor udskiftes efter at have noteret sin farve, så vil P (A) og P (B) altid være de samme, uanset hvor mange gange vi trækker fra urnen. Udskiftning af klinkekugler betyder, at sandsynlighederne ikke ændrer sig fra lodtrækning til lodtrækning, uanset hvilken farve vi valgte på det sidste træk. Derfor er begivenhed A og B uafhængige.

Men hvis der er trukket marmor uden udskiftning, ændrer alt sig. Under denne antagelse er begivenhederne A og B ikke uafhængige. At tegne en hvid marmor første gang ændrer sandsynligheden for at tegne en sort marmor på den anden tegning og så videre. Med andre ord har hver lodtrækning en effekt på den næste lodtrækning, og derfor er de individuelle træk ikke uafhængige.