Forskellen mellem Riemann Integral og Lebesgue Integral

Riemann Integral vs Lebesgue Integral

Integration er et hovedemne i beregningen. I en bredere forstand kan integration ses som den omvendte differentieringsproces. Når man modellerer problemer i den virkelige verden, er det let at skrive udtryk, der involverer derivater. I en sådan situation kræves integrationsoperationen for at finde funktionen, der gav det bestemte derivat.

Fra en anden vinkel er integration en proces, der opsummerer produktet fra en funktion ƒ (x) og δx, hvor δx har en tendens til at være en bestemt grænse. Derfor bruger vi integrationssymbolet som ∫. Symbolet ∫ er faktisk det, vi får ved at strække bogstavene s for at henvise til summen.

Riemann Integral

Overvej en funktion y = ƒ (x). Integralet af y mellem -en og b, hvor -en og b hører til et sæt x, er skrevet som _b∫^-enƒ (x) dx = [F(x)]_-en→b = F(b) - F(-en). Dette kaldes et bestemt integral af den enkelt værdsatte og kontinuerlige funktion y = ƒ (x) mellem a og b. Dette giver området under kurven mellem -en og b. Dette kaldes også Riemann integral. Riemann integral blev skabt af Bernhard Riemann. Riemann-integral af en kontinuerlig funktion er baseret på Jordan-målingen, derfor defineres den også som grænsen for Riemann-summerne for funktionen. For en reel værdsat funktion defineret med et lukket interval er Riemann-integralet af funktionen med hensyn til en partition x₁, x₂,… , x_n defineret på intervallet [a, b] og t₁, t₂,..., t_n, hvor x_jeg ≤ t_jeg ≤ x_{i + 1} for hvert i ε 1, 2, ..., n defineres Riemann-summen som Σ_{i = o til n-1} ƒ (t_jeg)(x_{i + 1} - x_jeg).

Lebesgue Integral

Lebesgue er en anden type integral, der dækker en lang række sager end Riemann-integralen gør. Lebesgue-integralet blev introduceret af Henri Lebesgue i 1902. Legesgue-integration kan betragtes som en generalisering af Riemann-integrationen.

Hvorfor skal vi studere en anden integral?

Lad os overveje den karakteristiske funktion ƒ_{A (x) = 0 hvis, x ikke ε A}^{1 hvis, x ε A} på et sæt A. Derefter en endelig lineær kombination af karakteristiske funktioner, der er defineret som F(x) = Σ a_jegƒE_jeg(x) kaldes den enkle funktion, hvis E_jeg kan måles for hver i. Lebesgue-integralet af F(x) over E betegnes med _E∫ ƒ (x) dx. Funktionen F(x) er ikke Riemann integrerbar. Derfor omskriver Lebesgue-integralen Riemann-integralen, som har nogle begrænsninger for de funktioner, der skal integreres.