Forskellen mellem associativ og kommutativ

Associativ vs kommutativ
 

I vores daglige liv er vi nødt til at bruge tal, når vi har brug for at få et mål på noget. I købmanden, på tankstationen og endda i køkkenet er vi nødt til at tilføje, trække fra og multiplicere to eller flere mængder. Fra vores praksis udfører vi disse beregninger ganske ubesværet. Vi lægger aldrig mærke til eller spørgsmålstegn ved, hvorfor vi udfører disse operationer på denne særlige måde. Eller hvorfor disse beregninger ikke kan udføres på en anden måde. Svaret er skjult på den måde, disse operationer er defineret i det matematiske felt af algebra.

I algebra defineres en operation, der involverer to mængder (såsom tilføjelse) som en binær operation. Mere præcist er det en operation mellem to elementer fra et sæt, og disse elementer kaldes 'operand'. Mange operationer i matematik inklusive aritmetiske operationer, der er nævnt tidligere, og dem, der findes i sætteorien, lineær algebra og matematisk logik kan defineres som binære operationer.

Der er et sæt regler, der vedrører en bestemt binær operation. Associative og de kommutative egenskaber er to grundlæggende egenskaber ved de binære operationer.

Mere om kommutativ ejendom

Antag, at en vis binær operation, der er betegnet med symbolet ⊗, udføres på elementerne EN og B. Hvis rækkefølgen af ​​operander ikke påvirker resultatet af operationen, siges operationen at være kommutativ. dvs. hvis EN ⊗ B = B ⊗ EN så er operationen kommutativ.

Den aritmetiske operation tilføjelse og multiplikation er kommutative. Rækkefølgen af ​​numrene, der er tilføjet sammen eller ganget sammen, påvirker ikke det endelige svar:

EN + B = B + EN     ⇒ 4 + 5 = 5 + 4 = 9

EN × B = B × EN     ⇒ 4 × 5 = 5 × 4 = 20

Men i tilfælde af opdeling giver ændring i rækkefølgen den anden gensidighed, og i subtraktion giver ændringen det andres negative. Derfor,

EN - B ≠ B - EN     ⇒ 4 - 5 = -1 og 5 - 4 = 1

EN ÷ B ≠ B ÷ EN     ⇒ 4 ÷ 5 = 0,8 og 5 ÷ 4 = 1,25 [i dette tilfælde EN,B ≠ 1 og 0]

Faktisk siges, at subtraktionen er antikommutativ; hvor EN - B = - (B - EN).

De logiske forbindelser, sammenhængen, disjunktionen, implikationen og ækvivalensen er også kommutative. Sandhedsfunktioner er også kommutative. Den indstillede driftsunion og kryds er kommutative. Tilsætning og det skalære produkt af vektorerne er også kommutative.

Men vektorsubtraktion og vektorprodukt er ikke kommutativt (vektorprodukt af to vektorer er antikommutativt). Matrixtilsætningen er kommutativ, men multiplikationen og subtraktionen er ikke kommutativ. (Multiplikation af to matrixer kan være kommutative i specielle tilfælde, såsom multiplikation af en matrix med dens inverse eller identitetsmatrix; men matrixer er bestemt ikke kommutative, hvis matrixerne ikke har samme størrelse)

Mere om tilknyttet ejendom

En binær operation siges at være associativ, hvis rækkefølgen af ​​udførelsen ikke påvirker resultatet, når to eller flere forekomster af operatøren er til stede. Overvej elementerne A, B og C og den binære operation ⊗. Handlingen ⊗ siges at være associativ, hvis

EN ⊗ B ⊗ C = EN ⊗ (B ⊗ C) = (EN ⊗ B) ⊗ C

Fra de grundlæggende aritmetiske funktioner er kun tilføjelse og multiplikation associerende.

EN + (B + C) = (EN + B) + C     ⇒ 4 + (5 + 3) = (5 + 4) + 3 = 12

EN × (B × C) = (EN × B) × C     ⇒ 4 × (5 × 3) = (5 × 4) × 3 = 60

Subtraktion og opdeling er ikke associerende;

EN - (B - C) ≠ (EN - B) - C     ⇒ 4 - (5 - 3) = 2 og (5 - 4) - 3 = -2

EN ÷ (B ÷ C) ≠ (EN ÷ B) ÷ C     ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3) = 2,4 og (5 ÷ 4) ÷ 3 = 0,2666

De logiske forbindelser disjunktion, konjunktion og ækvivalens er associative, ligesom også den sætte driftsunion og skæringspunkt. Matrixen og vektortilsætningen er associerende. Det skalære produkt af vektorer er associativt, men vektorproduktet er det ikke. Matrixmultiplikation er kun associerende under særlige omstændigheder.

Hvad er forskellen mellem kommutativ og tilknyttet ejendom?

• Både associativ egenskab og kommutativ egenskab er specielle egenskaber ved de binære operationer, og nogle tilfredsstiller dem, og nogle gør ikke.

• Disse egenskaber kan ses i mange former for algebraiske operationer og andre binære operationer i matematik, såsom skæringspunktet og sammenhæng i sætteori eller de logiske forbindelser.

• Forskellen mellem kommutativ og associativ er, at kommutativ egenskab siger, at rækkefølgen af ​​elementerne ikke ændrer det endelige resultat, mens associativ egenskab siger, at den rækkefølge, som operationen udføres i, ikke påvirker det endelige svar..