Forskel mellem differentiering og derivat

Differentiering vs afledt
 

I differentieringsberegning hænger derivat og differentiering tæt sammen, men meget forskellige, og bruges til at repræsentere to vigtige matematiske begreber relateret til funktioner.

Hvad er derivat?

Derivat af en funktion måler den hastighed, hvormed funktionsværdien ændres, når dens input ændres. I multivariabelfunktioner afhænger ændringen i funktionsværdien af ​​retningen for ændringen af ​​værdierne for de uafhængige variabler. Derfor vælges i sådanne tilfælde en bestemt retning, og funktionen differentieres i den bestemte retning. Det derivat kaldes retningsderivatet. Partielle derivater er en speciel slags retningsderivater.

Afledt af en vektor-værdsat funktion f kan defineres som grænsen uanset hvor det eksisterer endeligt. Som nævnt før giver dette os forøgelsen af ​​funktionen f langs vektorens retning u. I tilfælde af en enkelt værdsat funktion reducerer dette til den velkendte definition af derivatet,  

For eksempel, er overalt differentierbar, og derivatet er lig med grænsen, , hvilket er lig med . Derivater af funktioner såsom   findes overalt. De er henholdsvis lig med funktionerne .                                                                                

Dette er kendt som det første derivat. Normalt den første derivat af funktion f betegnes med f ⁽¹⁾. Nu med denne notation er det muligt at definere derivater af højere orden. er den anden ordens retningsderivat og betegner n^th afledt af f ⁽ⁿ⁾ for hver n, ,  definerer n^th afledte.

Hvad er differentiering?

Differentiering er processen med at finde derivatet til en differentierbar funktion. D-operator betegnet med D repræsenterer differentiering i nogle sammenhænge. Hvis x er den uafhængige variabel D ≡ ^d/_dx. D-operatøren er en lineær operator, dvs. for enhver to differentierbar funktion f og g og konstant c, følgende egenskaber holder.

jeg.  D(f + g) = D(f) + D (g)

II.  D(cf) = cD(f )

Ved hjælp af D-operatoren kan de andre regler, der er forbundet med differentiering, udtrykkes som følger. D(f g) = D(f ) g +f D(G) , D(^f/_g) = ^{[D(f ) g - f D(G)]}/_g² og D(f  o g) = (D(f) o g) D (g).

For eksempel når F (x) = x²synd x er differentieret med hensyn til x ved hjælp af de givne regler, vil svaret være 2xsynd x -+ x²cosx.